Die Kochsche Kurve - eine "Monsterkurve"


Die Kochsche Kurve (auch Schneeflockenkurve genannt) ist in der einfachsten Form ein gleichseitiges Dreieck. Jede Seite wird nun gedrittelt und über dem Mittelstück ein gleichseitiges Dreieck nach außen angesetzt. Analog geht man in den weiteren Schritten mit jedem geraden Stück vor.

Im folgenden Bild sieht man die Entwicklung der Kurve an einer Seite des ursprünglichen Dreiecks. Ich nenne sie Zackenkurve.


Aufgabe: Formuliere zunächst eine Methode 

void zeichneZackenkurve(int stufe, double laenge)
Durch den Aufruf 
zeichneZackenkurve(4, 200);
soll die vierte oben dargestellte Zackenkurve mit einer Länge von 200 der Kurve des ersten Bildes gezeichnet werden. Formuliere dann entsprechend eine Methode 
void zeichneSchneeflocke(int stufe, double laenge)
und zeichne die vierte Schneeflockenkurve.

Zusatz 1: Welche Figur entsteht, wenn man die Dreiecke nicht nach außen, sondern nach innen ansetzt (Achtung: Schleichwerbung!)?

Zusatz 2: Welche Figur entsteht, wenn man die Dreiecke durch Quadrate ersetzt?

Zusatz 3: Zeichne alle Figuren bis zu einer Maximalstufe übereinander.

Zusatz 4: Eine Modifikation der Kochkurve besteht darin, das mittlere Dreieck durch eine Strecke hin und zurück zu ersetzen (Die Länge der ursprünglichen Strecke sei laenge:

  1. Halbe Strecke zeichnen und um 90 Grad nach links drehen.
  2. Linie der Länge laenge/2.5 zeichnen.
  3. Um 180 Grad drehen.
  4. Linie der Länge laenge/2.5 zeichnen.
  5. Um 90 Grad nach links drehen und halbe Strecke zeichnen.
Die urprüngliche Strecke viermal "nach innen" gezeichnet ergibt ein Quadrat mit einem Fraktal im Innern.

Zusatz 5: Man setze auf das mittlere Dreieck der Koch-Kurve noch ein weiteres gleichseitiges Dreieck und laufe die Figur außen herum ab --> Schwammkurve.

Lösungen zur Aufgabe:
Applet zur Schneeflockenkurve (Quelltext: Schneeflocke.java)
Applet zur Schneeflockenkurve (nach innen) (Quelltext: SchneeflockeInnen.java)
Applet zur quadr. Schneeflockenkurve (Quelltext: QuadratKoch.java)
Applet zur quadr. Schneeflockenkurve (nach innen) (Quelltext: QuadratKochInnen.java)
Applet zu Zusatz 4: LinienKoch (Quelltext: LinienKoch.java)
Applet zu Zusatz 5: Schwammkurve (Quelltext: KochSchwamm.java)

Echte Schneekristalle
Der schwedische Mathematiker Helge von Koch (1870-1924) publizierte im Jahre 1904 als Beispiel einer stetigen, aber nirgends differenzierbaren Funktion eine berühmt gewordene Kurve, nämlich die später nach ihm benannte Von-Koch-Kurve. Sie ergibt sich als Grenzkurve, wenn die Stufe gegen Unendlich geht. Heute heißt eine endliche Variante meist einfach Koch-Kurve.
Auch in anderem Sinne ist es eine "Monsterkurve". Der Umfang der Kurve wächst über alle Grenzen, während der Flächeninhalt beschränkt bleibt. Die Kurve sieht gut aus, ist aber mathematisch betrachtet sehr bösartig!
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